Question

已知，如圖，一次函數(shù)y=kx+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），∠OAB=45°．
（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是x軸正半軸上一點(diǎn)，以P為直角頂點(diǎn)，BP為腰在第一象限內(nèi)作等腰Rt△BPC，連接CA并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)Q．
①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0），求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
②當(dāng)P點(diǎn)在x軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)的位置是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出它的坐標(biāo)；如果變化，請(qǐng)求出它的變化范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1））由∠AOB=90°，∠OAB=45°，可得∠OBA=∠OAB=45°，即OA=OB，由A（3，0），可得B（0，3），代入y=kx+b可得出k，b的值，即可得出一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）①過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D，易證△BOP≌△PDC，進(jìn)而得出點(diǎn)P，C，的坐標(biāo)，所點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入y=k₁x+b₁求解即可．
②由△BOP≌△PDC，可得PD=BO，CD=PO，由線段關(guān)系進(jìn)而得出OA=OB，得出AD=CD，由角的關(guān)系可得△AOQ是等腰直角三角形，可得出OQ=OA，即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，∠OAB=45°
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴OA=OB，
∵A（3，0），
∴B（0，3），
∴

3k+b=0 b=3

，
解得k=-1．
∴y=-x+3，
（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D，

∵∠BPO+∠CPD=∠PCD+∠CPD=90°，
∴∠BPO=∠PCD，
在△BOP和△PDC中，

∠BOP=∠PDC ∠BPO=∠PCD BP=PC

，
∴△BOP≌△PDC（AAS）．                          
∴PD=BO=3，CD=PO，
∵P（4，0），
∴CD=PO=4，則OD=3+4=7，
∴點(diǎn)C（7，4），
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=k₁x+b₁，
則

3k1+b1=0 7k1+b1=4

，
解得

k=1 b=-3

．
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x-3；
②點(diǎn)Q的位置不發(fā)生變化．
由①知△BOP≌△PDC，當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，仍有△BOP≌△PDC，
∴PD=BO，CD=PO，
∴PO+PD=CD+OB，即OA+AD=OB+CD，
又∵OA=OB，
∴AD=CD，
∴∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠QAO=45°，
∴OQ=OA=3，
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出△BOP≌△PDC．