Question

18．菱形ABCD的周長為8，∠ABC+∠ADC=90°，以AB為腰，在菱形外作底角是45°的等腰△ABE，連接AC，CE．請畫出圖形，并直接寫出△ACE的面積．

Answer 1

分析 分兩種情況進行討論：當∠ABE=90°時，∠EAB=∠ABC=45°；當∠BAE=90°時，作CF⊥AB于F，連接EF，分別根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，進行計算即可得到△ACE的面積．

解答 解：△ACE的面積為2或2-$\sqrt{2}$．
①如圖，當∠ABE=90°時，∠EAB=∠ABC=45°，

∴AE∥BC，
∴S_△ACE=S_△ABE，
∵菱形ABCD的周長為8，
∴AB=BE=2，
∴S_△ACE=S_△ABE=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
②如圖，當∠BAE=90°時，作CF⊥AB于F，連接EF，則∠EAF=∠CFA=90°，

∴AE∥CF，
∴S_△ACE=S_△AFE，
∵菱形ABCD的周長為8，
∴AB=AE=BC=2，
∴Rt△BCF中，BF=$\sqrt{2}$，
∴AF=2-$\sqrt{2}$，
∴S_△ACE=S_△AFE=$\frac{1}{2}$AE×AF=$\frac{1}{2}$×2×（2-$\sqrt{2}$）=2-$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖形，運用分類思想以及化歸思想進行求解．