Question

17．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，折疊正方形ABCD，使AB邊落在AC上，點(diǎn)B落在點(diǎn)H處，折痕AE分別交BC于點(diǎn)E，交BO于點(diǎn)F，連結(jié)FH，則下列結(jié)論正確的有幾個（　�。�
（1）AD=DF；（2）$\frac{{S}_{△ABE}}{S△ACE}$=$\frac{AB}{AC}$；（3）$\frac{FH}{AD}$=$\sqrt{2}$-1；（4）四邊形BEHF為菱形．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 （1）利用折疊的性質(zhì)得出∠BAE=∠EAH=22.5°，進(jìn)而得出∠DAF=67.5°，利用三角形內(nèi)角和得出∠AFD=67.5°，證明AD=DF正確；
（2）利用角平分線的性質(zhì)得出EB=EH，再利用三角形面積公式得出$\frac{{S}_{△ABE}}{S△ACE}$=$\frac{AB}{AC}$，正確；
（3）根據(jù)tan∠BAE=tan22.5°≈0.41，利用菱形得出FH=BE，進(jìn)而得出$\frac{FH}{AD}$=$\sqrt{2}$-1，正確；
（4）我們根據(jù)折疊的性質(zhì)就能得出BE=EH，BF=FH，只要再證出BE=BF就能得出BEHF是菱形，可用角的度數(shù)進(jìn)行求解，得出∠BFA的度數(shù)，那么就能求出∠BFE的度數(shù)，在直角三角形ABE中，有了∠BAE的度數(shù)，就能求出∠AEB的度數(shù)，這樣得出BE=BF后就能證出BEHF是菱形了．

解答 解：（1）∵在正方形紙片ABCD中，折疊正方形紙片ABCD，使AB落在AC上，點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)H重合，
∴∠BAE=∠EAH=22.5°，
∴∠DAF=67.5°，
∴∠AFD=67.5°，
∴AD=DF，
故（1）正確；
（2）∵在正方形紙片ABCD中，折疊正方形紙片ABCD，使AB落在AC上，點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)H重合，
∴△ABE≌△AEH，
∴BE=EH，
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{S△ACE}$=$\frac{\frac{1}{2}AB•BE}{\frac{1}{2}AC•EH}=\frac{AB}{AC}$，
故（2）正確；
（3）∵在正方形紙片ABCD中，折疊正方形紙片ABCD，使AB落在AC上，點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)H重合，
∴∠BAE=22.5°，
∴tan∠BAE=tan22.5°=$\sqrt{2}-1$，
（4）∵在正方形紙片ABCD中，折疊正方形紙片ABCD，使AB落在AC上，點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)H重合，
∴BE=EH，BF=FH，
又∵FH∥BC，
∴∠AEB=∠EFH，
又∵∠AEB=∠AFH，
∴∠AFH=∠EFH，
∴BE=EH=FB=BH，
∴四邊形BEHF是菱形，
故（4）正確；
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}=\frac{FH}{AD}$，
故（3）正確．
故選D．

點(diǎn)評 主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)的角和邊相等是解題的關(guān)鍵．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．