Question

10．如圖，梯形ABCD中AB∥CD，AB＞CD，N、M分別是腰AD、CB上的點(diǎn)，已知∠DAM=∠CBN．求證：∠DMA=∠CNB．

Answer 1

分析 連接MN，由∠DAM=∠CBN，得到A，B，M，N四點(diǎn)共圓，得出∠DAB=∠CMN，∠ANB=∠AMB，由梯形的性質(zhì)得出∠DAB+∠ADC=180°，得到∠CMN+∠ADC=180°，因此C，D，N，M四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠CMD=∠DNC，即可得到∠DMA=∠CNB．

解答 證明：連接MN，如圖所示：
∵∠DAM=∠CBN，
∴A，B，M，N四點(diǎn)共圓，
∴∠DAB=∠CMN，∠ANB=∠AMB，
又∵AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC=180°，
∴∠CMN+∠ADC=180°．
∴C，D，N，M四點(diǎn)共圓，
∴∠CMD=∠DNC，
∴180°-∠DNC-∠ANB=180°-∠CMD-∠AMB，
∴∠DMA=∠CNB．

點(diǎn)評 本題是四點(diǎn)共圓題目，考查了四點(diǎn)共圓、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線兩次證明四點(diǎn)共圓，運(yùn)用圓周角定理得出角之間的關(guān)系才能得出結(jié)論．