Question

5．下面是數(shù)學(xué)王老師布置的一到課后思考題．已知：如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為線段BC上一動點（不與端點B、C重合），以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．請判斷CF、BC和CD的數(shù)量關(guān)系．
小明思考了一會兒了，認為可以先證明△ABD≌△ACF（SAS），從而可得出CF、BC和CD的數(shù)量關(guān)系為CF+CD=BC．（請把正確答案填在橫線上）
（2）類比探究
如圖2，當(dāng)點D在線段BC延長線上時，其他條件不變，請判斷CF、BC和CD三條線段之間的關(guān)系，并說明理由．
（3）解決問題
如圖3，當(dāng)D在線段BC反向延長線上時，且點A、F分別在直線BC的兩側(cè)，正方形ADEF邊長為2$\sqrt{2}$，對角線AE、DF相交于點O，并連接OC，并求OC的長．

Answer 1

分析 （1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據(jù)此即可證得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；
（3）首先證明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得DF的長，則OC即可求得．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
則在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；
故答案為：CF+CD=BC；

（2）∵四邊形ADEF為正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，
∴CF=BC+CD；

（3）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的邊長為2$\sqrt{2}$且對角線AE、DF相交于點O．
∴DF=$\sqrt{2}$AD=4，O為DF中點．
∴OC=$\frac{1}{2}$DF=2．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性質(zhì)，此類題目通常都是用同一種思路求解，在（1）中找出證明三角形全等的思路是解題的關(guān)鍵．