Question

8．如圖，拋物線y=-x²-2x+3交x軸于點B（-3，0），交y軸于C（0，3），P為對稱軸x=-1上一個動點，若△BPC為直角三角形，求點P的坐標．

Answer 1

分析 首先利用勾股定理求得BC，PB，PC的長，然后分別從點B為直角頂點、點C為直角頂點、點P為直角頂點去分析求解即可求得答案．

解答 解：設P（-1，t），
又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10，
①若點B為直角頂點，則BC²+PB²=PC²，
即：18+4+t²=t²-6t+10，解之得：t=-2；
②若點C為直角頂點，則BC²+PC²=PB²，
即：18+t²-6t+10=4+t²，解之得：t=4，
③若點P為直角頂點，則PB²+PC²=BC²，
即：4+t²+t²-6t+10=18，
解之得：t₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$；
綜上所述P的坐標為（-1，-2）或（-1，4）或（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$） 或（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．

點評 本題綜合考查了拋物線與x軸的交點以及直角三角形的性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．