Question

6．在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC為一邊作等邊△ACD，連接BD．請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出△BCD的面積．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而利用勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案．

解答 解：如圖所示：

過點(diǎn)D作DE⊥BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC為一邊作等邊△ACD，
∴∠BAD=90°，∠ABC=∠ACB=75°，AB=AD=DC=4，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠DBE=30°，∠DCE=45°，
∴DB=4$\sqrt{2}$，則DE=EC=2$\sqrt{2}$，BE=BDcos30°=2$\sqrt{6}$，
則BC=BE-EC=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$，
則△BCD的面積為：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$（2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{3}$-4．
如圖所示：過點(diǎn)D作DE⊥BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

∵∠BAC=30°，△ACD是等邊三角形，
∴∠DAB=30°，
∴AB垂直平分DC，
∴∠DBA=∠ABC=75°，BD=BC，
∴∠DBE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD，
∴由（1）得：△BCD的面積為：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$）（2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$）=8-4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出BC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．