Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P從點A往點B方向運動，速度為2，點Q從點B往點C方向運動，速度為1，設運動時間為t．
（1）t取何值時以B，P，Q為頂點的三角形為直角三角形；
（2）t取何值時△BPQ面積為△ABC面積的一半．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理求得BA的長，然后利用相似三角形的性質(zhì)列出方程求解即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式列方程求解即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=10．
當∠PQB=90°時，
∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△PQB．
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{10-2t}{10}=\frac{t}{8}$．
解得：t=$\frac{40}{13}$．
當∠QPB=90°時，
∵∠QPB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△QPB．
∴$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，即$\frac{10-2t}{8}=\frac{t}{10}$．
解得：t=$\frac{25}{7}$．
答：t=$\frac{40}{13}$s或t=$\frac{25}{7}$s時，△BPQ為直角三角形．
（2）如圖所示：過點P作PD⊥BC，垂足為D．

∵∠C=∠PDB=90°，∠B=∠B，
∴△BDP∽△BCA．
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{PD}{AC}$，即$\frac{10-2t}{10}=\frac{PD}{6}$．
∴PD=6-$\frac{6}{5}t$．
由三角形的面積公式得：$\frac{1}{2}t•（6-\frac{6}{5}t）=\frac{1}{2}×6×8$×$\frac{1}{2}$，
整理得：t²-5t+10=0，
∵△=（-5）²-4×1×10=-15＜0，
∴方程無解．
∴不存在時間t使的△BPQ的面積為△ACB面積的一半．

點評 本題主要考查的是一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出關于x的方程是解題的關鍵．