Question

12．如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD=DE，連結(jié)BE分別交AC，AD于點F、G，連結(jié)OG，則下列結(jié)論：
①OG=$\frac{1}{2}$AB；
②與△EGD全等的三角形共有5個；
③S_{四邊形ODGF}＞S_△ABF；
④由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形．
其中正確的是（　　）

• A． ①④
• B． ①③④
• C． ①②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，證出OG是△ACD的中位線，得出OG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，①正確；
先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出△ABD、△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四邊形ABDE是菱形，④正確；
由菱形的性質(zhì)得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS證明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正確；
證出OG是△ABD的中位線，得出OG∥AB，OG=$\frac{1}{2}$AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性質(zhì)和面積關(guān)系得出S_{四邊形ODGF}=S_△ABF；③不正確；即可得出結(jié)果．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠EDG}&{\;}\\{∠AGB=∠DGE}&{\;}\\{AB=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位線，
∴OG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴①正確；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等邊三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四邊形ABDE是菱形，
④正確；
∴AD⊥BE，
由菱形的性質(zhì)得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=AG}&{\;}\\{∠ODC=∠BAG=60°}&{\;}\\{AB=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，
∴②不正確；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位線，
∴OG∥AB，OG=$\frac{1}{2}$AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面積=$\frac{1}{4}$△ABD的面積，△ABF的面積=△OGF的面積的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面積=△OGF的面積的2倍，
又∵△GOD的面積=△AOG的面積=△BOG的面積，
∴S_{四邊形ODGF}=S_△ABF；
③不正確；
正確的是①④．
故選：A．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，難度較大．