Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B，最低點為M，且S_△AMB=$\frac{5}{6}$
（1）求此拋物線的解析式，并說明這條拋物線是由拋物線y=ax² 怎樣平移得到的；
（2）如果點P由點A開始沿著射線AB以2cm/s的速度移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以1cm/s的速度向點C移動，當(dāng)其中一點到達終點時運動結(jié)束；
①在運動過程中，P、Q兩點間的距離是否存在最小值？如果存在，請求出它的最小值；
②當(dāng)PQ取得最小值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是梯形？如果存在，求出R點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過M作MN⊥x軸于N，交AB于Q，求出A、B、M的坐標(biāo)，代入即可求出解析式，化成頂點式，即可得出答案；
（2）①根據(jù)勾股定理求出PQ²=（2-2t）²+t²=5（t-$\frac{4}{5}$）²+$\frac{4}{5}$，即可得出答案；②分為兩種情況：第一種情況：當(dāng)AB∥QR時，
由①知：t=$\frac{4}{5}$，求出BQ=$\frac{4}{5}$，CQ=2-$\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$，把y=-$\frac{6}{5}$代入拋物線的解析式求出即可；第二種情況：當(dāng)BR∥PQ時，求出即可．

解答 解：（1）
過M作MN⊥x軸于N，交AB于Q，如圖1，
∵正方形OABC的邊長為2cm，
∴OA=AB=BC=OC=2cm，
∴A（0，-2），B（2，-2），AQ=BQ=1cm，
∵S_△AMB=$\frac{5}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$×2×MQ=$\frac{5}{6}$，
MQ=$\frac{5}{6}$，
即M的坐標(biāo)為（1，$\frac{17}{6}$），
把A、B、M的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{4a+2b+c=-2}\\{a+b+c=\frac{17}{6}}\end{array}\right.$
解得：a=$\frac{5}{6}$，b=-$\frac{5}{3}$，c=-2，
即此拋物線的解析式是y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{5}{3}$x-2，
即y=$\frac{5}{6}$（x-1）²-$\frac{17}{6}$，
所以這條拋物線是由拋物線y=ax² 向右1個單位長度，向下$\frac{17}{6}$個單位長度得到的；

（2）①PQ²=（2-2t）²+t²=5（t-$\frac{4}{5}$）²+$\frac{4}{5}$，
當(dāng)t=$\frac{4}{5}$時，最小值$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
即在運動過程中，P、Q兩點間的距離存在最小值，它的最小值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，

②分為兩種情況：如圖2，第一種情況：當(dāng)AB∥QR時，

由①知：t=$\frac{4}{5}$，BQ=$\frac{4}{5}$，CQ=2-$\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$，
所以把y=-$\frac{6}{5}$代入拋物線的解析式得：$\frac{5}{6}$（x-1）²-$\frac{17}{6}$=-$\frac{6}{5}$，
解得：x₁=$-\frac{2}{5}$，x₂=$\frac{12}{5}$
當(dāng)x₁=$-\frac{2}{5}$時，說明P、B、Q、R為頂點的四邊形是梯形，
當(dāng)x₂=$\frac{12}{5}$時，PBRQ為平行四邊形，舍去，
第二種情況：當(dāng)BR∥PQ時，與x₂=$\frac{12}{5}$的情況相同，故此時不存在梯形，
∴R（$\frac{12}{5}$，-$\frac{6}{5}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的最值，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運用知識點進行計算是解此題的關(guān)鍵，用了分類討論思想，難度偏大．