Question

4．如圖1，拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AB=4，矩形OBDC的邊CD=1，延長(zhǎng)DC交拋物線于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)P是直線EO上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線EO于點(diǎn)G，作PH⊥EO，垂足為H．設(shè)PH的長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求l與m的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出m的取值范圍），并求出l的最大值；
（3）如果點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以M，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件可求得A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）可先求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得直線OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的長(zhǎng)，從而可表示出l的長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；
（3）分AC為邊和AC為對(duì)角線，當(dāng)AC為邊時(shí)，過(guò)M作對(duì)稱軸的垂線，垂足為F，則可證得△MFN≌△AOC，可求得M到對(duì)稱軸的距離，從而可求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，設(shè)AC的中點(diǎn)為K，可求得K的橫坐標(biāo)，從而可求得M的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵矩形OBDC的邊CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（-3，0），B（1，0），
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+2=0}\\{9a-3b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2；

（2）在y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2中，令y=2可得2=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2，解得x=0或x=-2，
∴E（-2，2），
∴直線OE解析式為y=-x，
由題意可得P（m，-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+2），
∵PG∥y軸，
∴G（m，-m），
∵P在直線OE的上方，
∴PG=-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+2-（-m）=-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{1}{3}$m+2=-$\frac{2}{3}$（m+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{49}{24}$，
∵直線OE解析式為y=-x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l(xiāng)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[-$\frac{2}{3}$（m+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{49}{24}$]=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$（m+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{49\sqrt{2}}{48}$，
∴當(dāng)m=-$\frac{1}{4}$時(shí)，l有最大值，最大值為$\frac{49\sqrt{2}}{48}$；

（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，則有MN∥AC，且MN=AC，如圖，過(guò)M作對(duì)稱軸的垂線，垂足為F，設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)L，

則∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MFN=∠AOC}\\{∠FNM=∠ACO}\\{MN=AC}\end{array}\right.$
∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴點(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離為3，
又y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2，
∴拋物線對(duì)稱軸為x=-1，
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則|x+1|=3，解得x=2或x=-4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-$\frac{10}{3}$，當(dāng)x=-4時(shí)，y=$\frac{10}{3}$，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-$\frac{10}{3}$）或（-4，-$\frac{10}{3}$）；
②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，設(shè)AC的中點(diǎn)為K，
∵A（-3，0），C（0，2），
∴K（-$\frac{3}{2}$，1），
∵點(diǎn)N在對(duì)稱軸上，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為-1，
設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，
∴x+（-1）=2×（-$\frac{3}{2}$）=-3，解得x=-2，此時(shí)y=2，
∴M（-2，2）；
綜上可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-$\frac{10}{3}$）或（-4，-$\frac{10}{3}$）或（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中求得A、B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定出PG與l的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出M的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．