Question

20．如果不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+a-\frac{2}＞2}\\{2x+a+2b＜3}\end{array}\right.$的解集是1＜x＜2，求：坐標原點到直線y=ax+b距離．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+a-\frac{2}＞2}\\{2x+a+2b＜3}\end{array}\right.$的解集是1＜x＜2，得到關(guān)于a，b的二元一次方程組$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b+4=1}\\{\frac{-a-2b+3}{2}=2}\end{array}\right.$，解方程組得到a，b的值，再根據(jù)互相垂直的兩條直線的關(guān)系可得經(jīng)過原點并且與直線y=ax+b垂直的直線解析式，聯(lián)立兩直線解析式可得交點坐標，再根據(jù)勾股定理即可求解．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+a-\frac{2}＞2①}\\{2x+a+2b＜3②}\end{array}\right.$，
解①得x＞-2a+b+4，
解②得x＜$\frac{-a-2b+3}{2}$，
∵不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+a-\frac{2}＞2}\\{2x+a+2b＜3}\end{array}\right.$的解集是1＜x＜2，
∴2a+b+4=1，
解②得x＜$\frac{-a-2b+3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b+4=1}\\{\frac{-a-2b+3}{2}=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線y=ax+b的解析式為y=x-1，
∴經(jīng)過原點并且與直線y=ax+b垂直的直線解析式為y=-x，
聯(lián)立兩解析式$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
由勾股定理可得坐標原點到直線y=ax+b距離為$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，互相垂直的兩條直線的關(guān)系，勾股定理，方程思想，解題的關(guān)鍵是得到a，b的值．