Question

16．如圖，P為正方形ABCD的對角線BD上任一點，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF．給出以下4個結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP．其中，所有正確的結(jié)論是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 先證明四邊形PECF是矩形，得出對角線相等PC=EF，再證明△ABP≌△CBP，得出AP=PC，即可得出①正確；
延長AP交EF于N，由平行線得出∠EPN=∠BAP，由△ABP≌△CBP，得出∠BAP=∠BCP，由P、E、C、F四點共圓，得出同弧所對的圓周角相等∠PFE=∠BCP，得出∠BAP=∠BCP=∠PFE（④正確），證出∠PNE=90°，得出AP⊥EF，②正確；
由于P是動點，△APD不一定是等腰三角形，得出③錯誤．

解答 解：①正確；連接PC，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∠ABP=∠CBP=45°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC=∠FCE=90°，
∴四邊形PECF是矩形，
∴PC=EF，
在△ABP和△CBP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABP=∠CBP}&{\;}\\{BP=BP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∴AP=EF；
②④正確；延長AP交EF于N，如圖2所示：
∵AB∥PE，
∴∠EPN=∠BAP，
∵△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵四邊形PECF是矩形，
∴P、E、C、F四點共圓，
∴∠PFE=∠BCP，
∴∠BAP=∠BCP=∠PFE，
∵∠PEF+∠PFE=90°，
∴∠PEF+∠EPN=90°，
∴∠PNE=90°，
∴AP⊥EF；
③錯誤；
∵P是動點，
∴△APD不一定是等腰三角形；
正確的結(jié)論是①②④，
故選：C．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．