Question

1．如圖，已知△ABC，AD平分∠BAC，∠CAB=2∠B，CE⊥AD于E，且CB=10．（1）求AE的長；
（2）若sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，作輔助線；分別證明△CEA∽△DFB，△ACD∽△BCA，運(yùn)用相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，結(jié)合AB=2BF，得到$\frac{AE}{BF}=\frac{BC}{2BF}$，求出AE即可解決問題．
（2）首先運(yùn)用三角函數(shù)定義、勾股定理求出AC的長度；再次運(yùn)用勾股定理證明AD：AF=5：4；運(yùn)用角平分線的性質(zhì)列出關(guān)于線段CD的方程，求出CD即可解決問題．

解答 解：（1）過D點(diǎn)作DF⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠B，
又有∠CEA=∠DFB=90°，
∴△CEA∽△DFB，
∴$\frac{AC}{DB}=\frac{AE}{BF}$，
∵△ADB是等腰三角形，
∴AD=BD，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{BF}$，
又△ACD∽△BCA，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∵△ADB是等腰三角形，
∴AB=2BF，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{2BF}$，
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{BC}{2BF}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=5．
（2）∵AD平分∠BAC，sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠CAE=$\frac{3}{5}$，即$\frac{CE}{AC}=\frac{3}{5}$，
設(shè)CE=3λ，則AC=5λ，由勾股定理得：
AE=4λ，而AE=5，
∴AC=5λ=5×$\frac{5}{4}$=$\frac{25}{4}$；
同理可求：AD：AF=5：4；
設(shè)AD=BD=5μ，則AB=2AF=8μ，CD=10-5μ；
∵AD平分∠CAB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{\frac{25}{4}}{8μ}=\frac{10-5μ}{5μ}$，
解得：5μ=$\frac{195}{32}$，CD=10-5μ=$\frac{125}{32}$，
即CD的長為$\frac{125}{32}$．

點(diǎn)評 該題主要考查了相似三角形的判定、勾股定理、三角函數(shù)的定義、角平分線的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定、勾股定理等幾何知識點(diǎn)來分析、判斷、解答．