Question

15．如圖所示，在直角坐標系中，點A是反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$的圖象上一點，AB⊥x軸的正半軸于B點，C是OB的中點；一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象經(jīng)過A、C兩點，并交y軸于點D（0，-2），若S_△AOD=4．
（1）寫出點C的坐標；
（2）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（3）當y₁＜y₂時，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點C的坐標為（m，0），通過證△COD≌△CBA可得出點A的坐標為（2m，2），根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S_△AOD=4即可求出m值，由此即可得出點C的坐標；
（2）由m的值可得出點A的坐標，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出反比例函數(shù)解析式，再根據(jù)點C、D的坐標利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；
（3）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組可求出兩函數(shù)圖象的另一交點坐標，根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)點C的坐標為（m，0），
∵C是OB的中點，
∴OC=BC．
在△COD和△CBA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCO=∠ACB}\\{OC=BC}\\{∠DOC=∠ABC=90°}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△CBA（ASA），
∴OD=BA．
∵點D（0，-2），
∴點A的坐標為（2m，2）．
∴S_△AOD=S_△ABC+S_△DOC=2S_△DOC=2×$\frac{1}{2}$OC•OD=2m=4，
∴m=2，
∴點C的坐標為（2，0）．

（2）∵m=2，
∴點A的坐標為（4，2）．
∵點A在反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=4×2=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y₁=$\frac{8}{x}$；
將C（2，0）、D（0，-2）代入y₂=ax+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{0=2a+b}\\{-2=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x-2．

（3）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{8}{x}}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴兩函數(shù)圖象的另一個交點為（-2，-4）．
觀察函數(shù)圖象可知：當-2＜x＜0 或x＞4時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，
∴當y₁＜y₂時，x的取值范圍為-2＜x＜0 或x＞4．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形的面積以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)S_△AOD=4找出關(guān)于m的一元一次方程；（2）根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（3）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組求出兩函數(shù)圖象的另一交點坐標．