Question

13．如圖，拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C，且其對稱軸l為x=-1，點P是拋物線上B，C之間的一個動點（點P不與點B，C重合）．
（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）小唐探究點P的位置時發(fā)現(xiàn)：當動點N在對稱軸l上時，存在PB⊥NB，且PB=NB的關(guān)系，請求出點P的坐標；
（3）是否存在點P使得四邊形PBAC的面積最大？若存在，請求出四邊形PBAC面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由對稱軸可求得B點坐標，結(jié)合A、B兩點坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）過點P作PM⊥x軸于點M，設(shè)拋物線對稱軸l交x軸于點Q．可證明△BPM≌△NBQ，則可求得PM=BQ，可求得P點的縱坐標，利用拋物線解析式可求得P點坐標；
（3）連接AC，設(shè)出P點坐標，則可表示出四邊形PBAC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵A（1，0），對稱軸l為x=-1，
∴B（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-3=0}\\{9a-3b-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3；

（2）如圖1，過點P作PM⊥x軸于點M，

設(shè)拋物線對稱軸l交x軸于點Q．
∵PB⊥NB，∴∠PBN=90°，
∴∠PBM+∠NBQ=90°．
∵∠PMB=90°，
∴∠PBM+∠BPM=90°．
∴∠BPM=∠NBQ．
又∵∠BMP=∠BNQ=90°，PB=NB，
∴△BPM≌△NBQ．
∴PM=BQ．
∵拋物線y=x²+2x-3與x軸交于點A（1，0）和點B，且對稱軸為x=-1，
∴點B的坐標為（-3，0），點Q的坐標為（-1，0）．∴BQ=2．∴PM=BQ=2．
∵點P是拋物線y=x²+2x-3上B、C之間的一個動點，
∴結(jié)合圖象可知點P的縱坐標為-2，
將y=-2代入y=x²+2x-3，得-2=x²+2x-3，
解得x₁=-1-$\sqrt{2}$，x₂=-1+$\sqrt{2}$（舍去），
∴此時點P的坐標為（-1-$\sqrt{2}$，-2）；

（3）存在．
如圖2，連接AC．

可設(shè)點P的坐標為（x，y）（-3＜x＜0），則y=x²+2x-3，
∵點A（1，0），∴OA=1．
∵點C是拋物線與y軸的交點，
∴令x=0，得y=-3．即點C（0，-3）．
∴OC=3．
由（2）可知S_{四邊形PBAC}=S_△BPM+S_{四邊形PMOC}+S_△AOC
=$\frac{1}{2}$BM•PM+$\frac{1}{2}$（PM+OC）•OM+$\frac{1}{2}$OA•OC
=$\frac{1}{2}$（x+3）（-y）+$\frac{1}{2}$（-y+3）（-x）+$\frac{1}{2}$×1×3
=-$\frac{3}{2}$y-$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
將y=x²+2x-3代入可得S_{四邊形PBAC}=-$\frac{3}{2}$（x²+2x-3）-$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$．
∵-$\frac{3}{2}$＜0，-3＜x＜0，
∴當x=-$\frac{3}{2}$時，S_{四邊形PBAC}有最大值$\frac{75}{8}$．此時，y=x²+2x-3=-$\frac{15}{4}$．
∴當點P的坐標為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）時，四邊形PBAC的面積最大，最大值為$\frac{75}{8}$．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、方程思想等知識．在（1）中注意利用拋物線的對稱性，在（2）中求得P點的縱坐標是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點坐標表示出四邊形PBAC的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．