Question

3．如圖1，△ABC是邊長為5cm的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿線段AB，BC運(yùn)動，且它們的是速度都為1厘米/秒．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，BQ的長為t厘米，BP的長為5-t厘米；（用含t的式子表示）
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形；
（3）如圖2，連接AQ、CP，相交于點(diǎn)M，則點(diǎn)P，Q在運(yùn)動的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意、結(jié)合圖形解答；
（2）分∠PQB=90°、∠BPQ=90°兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可；
（3）證明△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的內(nèi)角是60°解答即可．

解答 解：（1）由題意得，BQ=t，BP=5-t，
故答案為：t；（5-t）；

（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=5-t，
①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴PB=2BQ，得5-t=2t，
解得，t=$\frac{5}{3}$，
②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，得t=2（5-t），
解得，t=$\frac{10}{3}$，
∴當(dāng)?shù)?\frac{5}{3}$秒或第$\frac{10}{3}$秒時(shí)，△PBQ為直角三角形；

（3）∠CMQ不變，理由如下：
在△ABQ與△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠B=∠CAP=60°\\ AP=BQ\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，
∴∠CMQ不會變化．

點(diǎn)評 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．