Question

9．如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB邊的中點，DE與AB交于點G，EF與AC交于點H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．
（1）求證：EF=AB；
（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形；
（3）若AB=2$\sqrt{3}$，求△AEG的周長．

Answer 1

分析 （1）由SAS證明△ABC≌△EFA，即可得出EF=AB；
（2）證出EF=AB，AE=DF，即可得出結(jié)論；
（3）由平行四邊形的性質(zhì)得出AG=FG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由勾股定理得出AE=AC=$\sqrt{3}$BC=3，EG=$\sqrt{A{E}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{9+\frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，即可得出△AEG的周長．

解答 （1）證明：∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F為AB的中點，
∴BF=AF，AB=2AF，
∴BC=AF，在△△EFA和△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}&{\;}\\{∠FEA=∠ACB}&{\;}\\{AF=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EFA≌△ABC（SAS），
∴EF=AB；
（2）證明：∵△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，
∵BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四邊形ADFE為平行四邊形；
（3）解：∵F為AB邊的中點，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∵四邊形ADFE是平行四邊形；
∴AG=FG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴AE=AC=$\sqrt{3}$BC=3，
∵∠FAE=90°，
∴EG=$\sqrt{A{E}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{9+\frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴△AEG的周長=AE+EG+AG=3+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)；本題綜合性強，有一定難度．