Question

4．如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，連接BE、CF相交于點(diǎn)D．
（1）求證：BE=CF；
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，求四邊形AEDC的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則根據(jù)“SAS”證明△AEB≌△AFC，于是得到BE=CF；
（2）先判斷△ABE為等腰直角三角形得到∠ABE=45°，則AC∥BE，同理可得AE∥CF，于是可證明四邊形AEDC為菱形，AF與BE交于點(diǎn)H，如圖，通過證明△AHE為等腰直角三角形得到AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算．

解答 （1）證明：∵△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△AEF，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴AB=AC=AE=AF，∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB，即∠EAB=∠FAC，
在△AEB和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAB=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFC，
∴BE=CF；
（2）解：∵α=90°，即∠EAB=∠FAC=90°，
∵AE=AB，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴AC∥BE，
同理可得AE∥CF，
∵AE=AC，
∴四邊形AEDC為菱形，
AF與BE交于點(diǎn)H，如圖，
∵∠EAF=45°，
∴AH平分∠EAB，
∴AH⊥BE，
∴△AHE為等腰直角三角形，
∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$，
∴四邊形AEDC的面積=AH•DE=$\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決（1）題的關(guān)鍵是證明△AEB≌△AFC．