Question

12．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)過(guò)點(diǎn)A作PO的垂線AB垂足為D，交⊙O于點(diǎn)B，延長(zhǎng)BO與⊙O交與點(diǎn)C，連接AC，BF．
（1）求證：PB與⊙O相切；
（2）是探究線段EF，OD，OP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）若tan∠F=$\frac{1}{2}$，求cos∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△OAP≌△OBP，再判斷出∠OQP=90°即可；
（2）先由射影定理得到OA²=OD×OP，再根據(jù)OA=$\frac{1}{2}$EF，代入，化簡(jiǎn)即可；
（3）根據(jù)∠F的正切，設(shè)出BD，表示出FD=2a，AD=a，DE=$\frac{1}{2}$a，EF=$\frac{5}{2}$a，得到AC=$\frac{3}{2}$a即可．

解答 解：（1）如圖，

連接OA，
∵PD⊥AB，
∴OP垂直平分AB，
∴PA=PB，OA=OB，
∴△OAP≌△OBP，
∴∠OAP=∠OBP，
∵PA為⊙O的切線，
∴∠OAP=90°，
∴∠OQP=90°，
∵點(diǎn)B在⊙O上，
∴BP與⊙O相切，
（2）EF，OD，OP間的數(shù)量關(guān)系為EF²=4OD×OP，
理由：∵∠OAP=90°，AD⊥OP，
∴OA²=OD×OP，
∵OA=$\frac{1}{2}$EF，
∴OD×OP=$\frac{1}{4}$EF²，
∴EF²=4OD×OP，
（3）∵tanF=$\frac{1}{2}$，
設(shè)BD=a，
∴FD=2a，AD=a，DE=$\frac{1}{2}$a，EF=$\frac{5}{2}$a，
∴OD=$\frac{3}{4}$a，
∴AC=$\frac{3}{2}$a，
∵BC=EF=$\frac{5}{2}$a
∴cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是找出線段間的關(guān)系．