Question

2．如圖1，?ABCD中，點O是對角線AC的中點，EF過點O，與AD，BC分別相交于點E，F(xiàn)，GH過點O，與AB，CD分別相交于點G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH．
（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）如圖2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠EAO=∠FCO，證出△OAE≌△OCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到結(jié)論；
（2）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△OAE與△OCF中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCF，
∴OE=OF，
同理OG=OH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）解：與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥BC，
∴四邊形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH為平行四邊形，
∵EF過點O，GH過點O，
∵OE=OF，OG=OH，
∴?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH，?ACHD它們面積=$\frac{1}{2}$?ABCD的面積，
∴與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH．

點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．