Question

7．如圖，把△EFP按圖示方式放置在菱形ABCD中，使得頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4$\sqrt{3}$，∠BAD=60°，且AB＞4$\sqrt{3}$．
（1）求∠EPF的大��；
（2）若AP=6，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三個頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）過點P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，過點P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，證明△ABC≌△ADC，R_t△PME≌R_t△PNF，問題即可得證；
（3）如圖3，當EF⊥AC，點P在EF的右側(cè)時，AP有最大值，當EF⊥AC，點P在EF的左側(cè)時，AP有最小值解直角三角形即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，過點P作PG⊥EF于G，
∵PE=PF，
∴FG=EG=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{3}$，∠FPG=$∠EPG=\frac{1}{2}∠EPF$，
在△FPG中，sin∠FPG=$\frac{FG}{PF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=2∠FPG=120°；

（2）如圖2，過點P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，DC=BC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴PM=PN，
在R_t△PME于R_t△PNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PM═PN}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴R_t△PME≌R_t△PNF，
∴FN=EM，在R_t△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
∴AM=AP•cos30°=3$\sqrt{3}$，同理AN=3$\sqrt{3}$，
∴AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=6$\sqrt{3}$；

（3）如圖3，當EF⊥AC，點P在EF的右側(cè)時，AP有最大值，
當EF⊥AC，點P在EF的左側(cè)時，AP有最小值，
設(shè)AC與EF交于點O，
∵PE=PF，
∴OF=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{3}$，
∵∠FPA=60°，
∴OP=2，
∵∠BAD=60°，
∴∠FAO=30°，
∴AO=6，
∴AP=AO+PO=8，
同理AP′=AO-OP=4，
∴AP的最大值是8，最小值是4．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，最值問題，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．