Question

1．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）設(shè)△DPQ的面積為S，請(qǐng)用含t的式子表示S；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PCDQ為平行四邊形；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PD=PQ．

Answer 1

分析 （1）由題意得出AQ=t，DQ=16-t，△DPQ的面積S=$\frac{1}{2}$DQ•AB，即可得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若四邊形PCDQ是平行四邊形，則DQ=PC，得出方程，解方程即可；
（3）作PE⊥AD于E，則四邊形ABPE是矩形，得出AE=PB，由PD=PQ，得出PE垂直平分DQ，求出QD、DE，得出AE，列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：AQ=t，
∴DQ=16-t，
∴△DPQ的面積S=$\frac{1}{2}$×（16-t）×12=96-6t，
即S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=96-6t；

（2）∵PB=2t，
∴PC=21-2t，
若四邊形PCDQ是平行四邊形，
則DQ=PC，
∴16-t=21-2t，
解得：t=5，
∴當(dāng)t=5時(shí)，四邊形PCDQ是平行四邊形；

（3）作PE⊥AD于E，如圖所示：
則四邊形ABPE是矩形，
∴AE=PB，
∵PD=PQ，
∴QE=DE=$\frac{1}{2}$QD，
∵AQ=t，PB=2t，
∴QD=16-t，
∴DE=$\frac{1}{2}$（16-t），
∴AE=AD-DE=16-$\frac{1}{2}$（16-t）=8+$\frac{1}{2}$t，
∴8+$\frac{1}{2}$t=2t，
解得：t=$\frac{16}{3}$，
∴t=$\frac{16}{3}$時(shí)，PD=PQ．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題有一定難度，綜合性強(qiáng)，特別是（4）中，需要通過(guò)作輔助線運(yùn)用矩形的性質(zhì)列出方程才能得出結(jié)果．