Question

18．如圖，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分別以邊AD，BC為直徑在矩形ABCD的內(nèi)部作半圓O₁和半圓O₂，一平行于AB的直線EF與這兩個(gè)半圓分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，且EF=2（EF與AB在圓心O₁和O₂的同側(cè)），則由$\widehat{AE}$，EF，$\widehat{FB}$，AB所圍成圖形（圖中陰影部分）的面積等于3-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 連接O₁O₂，O₁E，O₂F，過E作EG⊥O₁O₂，過F⊥O₁O₂，得到四邊形EGHF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到GH=EF=2，求得O₁G=$\frac{1}{2}$，得到∠O₁EG=30°，根據(jù)三角形、梯形、扇形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：連接O₁O₂，O₁E，O₂F，
則四邊形O₁O₂FE是等腰梯形，
過E作EG⊥O₁O₂，過FH⊥O₁O₂，
∴四邊形EGHF是矩形，
∴GH=EF=2，
∴O₁G=$\frac{1}{2}$，
∵O₁E=1，
∴GE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{O}_{1}G}{{O}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$；
∴∠O₁EG=30°，
∴∠AO₁E=30°，
同理∠BO₂F=30°，
∴陰影部分的面積=S${\;}_{矩形AB{O}_{2}{O}_{1}}$-2S${\;}_{扇形A{O}_{1}E}$-S${\;}_{梯形EF{O}_{2}{O}_{1}}$=3×1-2×$\frac{30•π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$（2+3）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{6}$．
故答案為：3-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了扇形面積的計(jì)算，矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．