Question

3．如圖，直線y=kx+b分別交x軸、y軸正半軸于點A、B，其中A（6，0），P為x軸正半軸上一個動點．
（1）若OB：OA=4：3，求點B坐標(biāo)及一次函數(shù)解析式；
（2）在（1）的條件下，連結(jié)BP，若BP平分∠OBA，求點P坐標(biāo)及△BPA的面積；
（3）若OB=OA，在第一象限內(nèi)作等腰直角△BPM，其中∠BPM=90°，直線MA交y軸于點C，則點C是否為定點？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出OB，進而得出點B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法確定出直線解析式；
（2）根據(jù)角平分線定理得出方程求解即可得出點P坐標(biāo)，最后用三角形的面積公式求解即可；
（3）先判斷出△OBP≌△NPM，得出MN=OP=m，PN=OB=6，即可得出點M的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法得出直線AM解析式，即可得出點C坐標(biāo)，即可判斷．

解答 解（1）∵A（6，0），
∴OA=6，
∵OB：OA=4：3，
∴OB=8，
∴B（0，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+8，
（2）∵OA=6，OB=8，
∴AB=10，
設(shè)P（a，0），
∴OP=a，ap=6-a，
∵BP平分∠OBA，
∴$\frac{OB}{AB}=\frac{OP}{AP}$，
∴$\frac{8}{10}=\frac{a}{6-a}$，
∴a=$\frac{8}{3}$，
∴P（$\frac{8}{3}$，0），PA=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴S_△BPA=$\frac{1}{2}$PA×OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$×8=$\frac{40}{3}$，
（3）點C是定點，理由：如圖，

由（1）知，OA=6，
∵OB=OA，
∴OB=6，
∴B（0，6），
過點M作MN⊥OA，
設(shè)P（m，0），
由旋轉(zhuǎn)知，BP=MP，∠BPM=90°，
∴∠BPO+∠MPN=90°，
∵∠OBP+∠BPO=90°，
∴∠OBP=∠NPM，
在△OBP和△NPM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBP=∠NPM}\\{∠BOP=∠PNM}\\{PB=PM}\end{array}\right.$，
∴△OBP≌△NPM，
∴MN=OP=m，PN=OB=6，
∴ON=m+6，
∴M（m+6，m），
∵A（6，0），
∴直線AM的解析式為y=x-6，
∴C（0，-6）為定點．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，全等三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是判斷出△OBP≌△NPM，是一道難度不大的中考�？碱}．