Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以邊上AC上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)D，并與邊AC相交于另一點(diǎn)F．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若BC=2$\sqrt{3}$，E是半圓$\widehat{AGF}$上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE、AD、DE．
填空：
①當(dāng)$\widehat{AE}$的長度是$\frac{2}{3}$π時(shí)，四邊形ABDE是菱形；
②當(dāng)$\widehat{AE}$的長度是$\frac{1}{3}$π或π時(shí)，△ADE是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，利用斜邊上的中線性質(zhì)得DB=DA=DC，則可判斷△ABD為等邊三角形得到∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，然后計(jì)算出∠ODB=90°，從而根據(jù)切線的判定定理可判定BD是⊙O的切線；
（2）解：①利用△ABD為等邊三角形得到AB=BD=AD=CD=$\sqrt{3}$，則可計(jì)算出OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD=1，當(dāng)DE∥AB時(shí)，DE⊥AC，先證明△ADE為等邊三角形，再證明四邊形ABDE為菱形，然后利用弧長公式計(jì)算此時(shí)$\widehat{AE}$的長度；
②討論：當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，AE為直徑，利用弧長公式可計(jì)算出此時(shí)$\widehat{AE}$的長度；當(dāng)∠DAE=90°時(shí)，DE為直徑，利用圓周角定理得到∠AOE=2∠ADE=60°，然后利用弧長公式可計(jì)算出此時(shí)$\widehat{AE}$的長度．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴DB=DA=DC，
∵∠B=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，
而OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=30°，
∴∠ODB=60°+30°=90°，
∴OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切線；
（2）解：①∵△ABD為等邊三角形，
∴AB=BD=AD=CD=$\sqrt{3}$，
在Rt△ODC中，OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD=1，
當(dāng)DE∥AB時(shí)，DE⊥AC，
∴AD=AE，
∵∠ADE=∠BAD=60°，
∴△ADE為等邊三角形，
∴AD=AE=DE，∠ADE=60°，
∴∠AOE=2∠ADE=120°，
∴AB=BD=DE=AE，
∴四邊形ABDE為菱形，
此時(shí)$\widehat{AE}$的長度=$\frac{120•π•1}{180}$=$\frac{2}{3}$π；
②當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，AE為直徑，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，此時(shí)$\widehat{AE}$的長度=$\frac{180•π•1}{180}$=π；
當(dāng)∠DAE=90°時(shí)，DE為直徑，∠AOE=2∠ADE=60°，此時(shí)$\widehat{AE}$的長度=$\frac{60•π•1}{180}$=$\frac{1}{3}$π，
所以當(dāng)$\widehat{AE}$的長度為$\frac{1}{3}$π或π時(shí)，△ADE是直角三角形．
故答案為$\frac{2}{3}$π；$\frac{1}{3}$π或π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理、切線的判定方法和菱形的判定方法；靈活應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算；記住弧長公式．