Question

13．如圖，C為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，連結(jié)AC，EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x．
（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)問：點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小？求出這個(gè)最小值．
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（12-x）}^2}+9}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的結(jié)果可作BD=12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（12-x）}^2}+9}$的最小值，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值．

解答 解：（1）∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{25+（8-x）^{2}}$，
CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∴AC+CE=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{25+（8-x）^{2}}$；

（2）當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小，
過A作AF⊥DE交ED的延長(zhǎng)線于F，
∴DF=AB=5，
∴AE=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AC+CE的最小值是10；

（3）如圖2所示，作BD=12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，
設(shè)BC=x，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（12-x）}^2}+9}$的最小值．
過點(diǎn)A作AF∥BD交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得矩形ABDF，
則AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=13，
即$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（12-x）}^2}+9}$的最小值為13．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了軸對(duì)稱求最短路徑，本題利用了數(shù)形結(jié)合的思想，求形如$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（12-x）}^2}+9}$的式子的最小值，可通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．