Question

3．雨涵非常喜歡香蕉，她想了解香蕉銷售的相關(guān)情況，于是她調(diào)查了2014年1-10月某水果商販銷售香蕉的情況．根據(jù)調(diào)查的信息，雨涵寫下了如圖所示的調(diào)查總結(jié)．

根據(jù)以上信息，回答下列問題
（1）求y₂的解析式；
（2）哪月銷售香蕉時(shí)，每千克所獲得的利潤最大？每千克的最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）把已知兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y₂=ax²+bx+$\frac{63}{8}$，求出a與b的值，即可確定出y₂的解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求出y₁的解析式，由W=y₁-y₂，表示出W與x的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出利潤的最大值，以及此時(shí)x的值即可．

解答 解：（1）把（4，$\frac{47}{8}$）和（7，7）代入y₂=ax²+bx+$\frac{63}{8}$得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+\frac{63}{8}=\frac{47}{8}}\\{49a+7a+\frac{63}{8}=7}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{8}$，b=-1，
則y₂=$\frac{1}{8}$x²-x+$\frac{63}{8}$（1≤x≤10）；
（2）設(shè)y₁=kx+b，把（4，11）和（8，10）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=11}\\{8k+b=10}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{4}$，b=12，
∴y₁=-$\frac{1}{4}$x+12，
設(shè)每千克的利潤為W元，則有W=y₁-y₂=-$\frac{1}{4}$x+12-$\frac{1}{8}$x²+x-$\frac{63}{8}$=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+$\frac{33}{8}$=-$\frac{1}{8}$（x-3）²+$\frac{21}{4}$，
當(dāng)x=3時(shí)，W有最大值為$\frac{21}{4}$，
則3月份銷售香蕉時(shí)，每千克所獲得的利潤最大，每千克的最大利潤是$\frac{21}{4}$元．

點(diǎn)評 此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．