Question

如圖，AB和CD是互相垂直的兩條直徑，E為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EF切⊙O于點(diǎn)F，交AB的延長(zhǎng)線于H，DF交AB于T，若tan∠D=

1

3

，求sin∠E的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)OF，如圖，先在Rt△DOT中利用正切的定義得到tanD=

OT

OD

=

1

3

，則可設(shè)OT=x，OD=3x，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OF⊥EF，則∠OFH=90°，再證明∠HFD=∠HTF得到HF=HT，接著在Rt△OHF中利用勾股定理得到（3x）²+HF²=（x+HF）²，解得HF=4x，則OH=5x，于是根據(jù)正弦的定義得到sin∠HOF=

HF

OH

=

4

5

，然后根據(jù)等角的余角相等得到∠E=∠HOF，從而得到sin∠E=

4

5

．

解答：解：連結(jié)OF，如圖，
∵AB⊥CD，
∴∠DOB=90°，
在Rt△DOT中，∵tanD=

OT

OD

=

1

3

，
∴設(shè)OT=x，OD=3x，
∵EF切⊙O于點(diǎn)F，
∴OF⊥EF，
∴∠OFH=90°，
即∠OFD+∠DFH=90°，
∵∠D+∠DTO=90°，
而∠DTO=∠HTF，
∴∠D+∠HTF=90°，
∵OD=OF，
∴∠D=∠OFD，
∴∠HFD=∠HTF，
∴HF=HT，
在Rt△OHF中，OF=3x，OH=x+HT=x+HF，
∵OF²+HF²=OH²，
∴（3x）²+HF²=（x+HF）²，解得HF=4x，
∴OH=5x，
∴sin∠HOF=

HF

OH

=

4x

5x

=

4

5

，
∵∠E+∠EOF=90°，
∠HOF+∠EOF=90°，
∴∠E=∠HOF，
∴sin∠E=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了等腰三角形的判定和勾股定理．