Question

如圖，⊙O的半徑為3，⊙O切AC于F，交BC于D，DE⊥AC于E，CE=1，AB=AC，則AO=

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：計算題

分析：連結OD，如圖，由AB=AC得∠B=∠C，由OB=OD得∠B=∠ODB，則∠ODB=∠C，根據(jù)平行線的判定可得OD∥AC，由于DE⊥AC，則OD⊥DE，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OF⊥AE，可證得四邊形ODEF為正方形，得到EF=3，設OA=x，則AB=x+3=AC，所以AF=AC-EF-CE=x-1，然后在Rt△AOF中利用勾股定理得到3²+（x-1）²=x²，再解方程求出x即可．

解答：解：連結OD，如圖，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵⊙O切AC于F，
∴OF⊥AE，
∴四邊形ODEF為矩形，
而OF=OD=3，
∴四邊形ODEF為正方形，
∴EF=3，
設OA=x，則AB=x+3，
∴AC=x+3，
∴AF=AC-EF-CE=x+3-3-1=x-1，
在Rt△AOF中，∵OF²+AF²=OA²，
∴3²+（x-1）²=x²，解得x=5，
∴OA的長為5．
故答案為5．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)和勾股定理．