Question

20．如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖象與軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象相交于C，D兩點(diǎn)，分別過C、D兩點(diǎn)作y軸、x軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，連接CF，DE．有下列四個(gè)結(jié)論：
①△DCE≌△CDF；
②△AOB∽△FOE；
③△CEF與△DEF的面積相等；
④AC=BD．
其中正確的有①②③④．（只填寫序號(hào)）

Answer 1

分析 先求出A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，再由DF⊥x軸，CE⊥y軸即可得出CE及DF的長(zhǎng)，故可得出①正確；利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，根據(jù)解析式的系數(shù)可判斷出AB∥EF，再由相似三角形的判定定理可得出②正確；根據(jù)同底等高的三角形面積相等可知③正確；根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出AC及BD的長(zhǎng)可知④正確．

解答 解：∵一次函數(shù)y=x+3的圖象與軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴A（-3，0），B（0，3）．
∵與反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象相交于C，D兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x+3\\ y=\frac{4}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4\end{array}\right.$，
∴C（-4，-1），D（1，4）．
∵DF⊥x軸，CE⊥y軸，
∴E（0，-1），F(xiàn)（1，0），
∴CE=DF=4，CF=DE=$\sqrt{{（-4-1）}^{2}+{（-1-0）}^{2}}$=$\sqrt{26}$．
在DCE與△CDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}CD=CD\\ CE=DF\\ CF=DE\end{array}\right.$
∴△DCE≌△CDF（SSS），故①正確；
設(shè)直線EF的解析式為y=mx+n（m≠0），
∵E（0，-1），F(xiàn)（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}n=-1\\ m+n=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}n=-1\\ m=1\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式為y=x-1．
∵直線AB的解析式為：y=x+3，
∴AB∥EF，
∴∠FEO=∠ABO，∠EFO=∠BAO，
∴△AOB∽△FOE，故②正確；
∵EF∥AB，
∴△CEF與△DEF同底等高，
∴△CEF與△DEF的面積相等，故③正確；
∵A（-3，0），B（0，3），C（-4，-1），D（1，4），
∴AC=$\sqrt{（-3+4）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{{1}^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AC=BD，即④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、全等三角形及相似三角形的判定等知識(shí)，涉及面較廣．