Question

1．某文具店經(jīng)銷甲、乙兩種不同的筆記本，已知；兩種筆記本的進價之和為10元，每個筆記本的利潤均為1元，小王同學買4本甲種筆記本和3本乙種筆記本共用了43元．
（1）甲、乙兩種筆記本的進價分別是多少元？
（2）該文具店購入這兩種筆記本共60本，花費不超過295元，并且購買甲種筆記本的數(shù)量大于乙種筆記本數(shù)量的$\frac{2}{3}$，則問該文具店有哪幾種購買方案？
（3）店主經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)平均每天可售出甲種筆記本300本和乙種筆記本150本．如果兩種筆記本的售價各提高1元，則每天將少售出50本甲種筆記本和40本乙種筆記本．為使每天獲取的利潤更多，店主決定把兩種筆記本的價格都提高x元，在不考慮其他因素的條件下，當x定為多少時，才能使該文具店每天銷售甲、乙筆記本獲取的利潤最大？

Answer 1

分析 （1）設甲種筆記本的進價為m元/本，則乙種筆記本的進價為（10-m）元/本，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論；
（2）設購入甲種筆記本n本，則購入乙種筆記本（60-n）本，根據(jù)“花費不超過295元，并且購買甲種筆記本的數(shù)量大于乙種筆記本數(shù)量的$\frac{2}{3}$”，即可得出關于n的一元一次不等式組，解之即可得出n的取值范圍，再結合n為正整數(shù)，即可得出各購入方案；
（3）設把兩種筆記本的價格都提高x元的總利潤為w元，根據(jù)總利潤=單本利潤×銷售數(shù)量，即可得出w關于x的函數(shù)關系式，利用配方法結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）設甲種筆記本的進價為m元/本，則乙種筆記本的進價為（10-m）元/本，
根據(jù)題意得：4（m+1）+3（10-m+1）=43，
解得：m=6，
∴10-m=4．
答：甲種筆記本的進價為6元/本，乙種筆記本的進價為4元/本．
（2）設購入甲種筆記本n本，則購入乙種筆記本（60-n）本，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{6n+4（60-n）≤295}\\{n＞\frac{2}{3}（60-n）}\end{array}\right.$，
解得：24＜n≤27.5．
∵n為正整數(shù)，
∴m=25、26、27，
∴共有三種購入方案：方案一、購入甲種筆記本25本，乙種筆記本35本；方案二、購入甲種筆記本26本，乙種筆記本34本；方案三、購入甲種筆記本27本，乙種筆記本33本．
（3）設把兩種筆記本的價格都提高x元的總利潤為w元，
根據(jù)題意得：w=（1+x）（300-50x）+（1+x）（150-40x）=-90（x-2）²+810，
∵在w=-90（x-2）²+810中，a=-90＜0，
∴當x=2時，w取最大值，最大值為810．
答：當x定為2元時，才能使該文具店每天銷售甲、乙筆記本獲取的利潤最大，最大利潤為810元．

點評 本題考查了一元一次方程的應用、二次函數(shù)的應用、二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)總價=單價×數(shù)量，列出關于m的一元一次方程；（2）找準等量關系，列出關于n的一元一次不等式組；（3）根據(jù)總利潤=單本利潤×銷售數(shù)量，找出w關于x的函數(shù)關系式．