Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，過點(diǎn)A作直線MN的垂線，垂足為點(diǎn)D，且∠BAC=∠DAC．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）若CD=6，cos∠ACD=

3

5

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出AD、AB長(zhǎng)，證△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）直線MN與⊙0的位置關(guān)系是相切，
理由是：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAB=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN，
∵OC為半徑，
∴MN是⊙O切線；

（2）∵CD=6，cos∠ACD=

DC

AC

=

3

5

，
∴AC═10，由勾股定理得：AD=8，
∵AB是⊙O直徑，AD⊥MN，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴

8

10

=

10

AB

，
∴AB=12.5，
∴⊙O半徑是

1

2

×12.5=6.25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．