Question

如圖，?ABCD中，∠DBC=45°，高線DE、BF交于點H，BF、AD的延長線交于點G；聯結AH．
（1）求證：BH=AB；
（2）求證：AH•BG=AG•BD．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,全等三角形的判定與性質,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據已知利用AAS判定△BEH≌△DEC，從而得到BH=DC，由平行四邊形的性質得DC=AB，則可以得到AB=BH；
（2）根據兩組角對應相等的兩個三角形相似得到△GDB∽△GHA，相似三角形的對應邊成比例，所以AH•BG=AG•BD．

解答：（1）證明：
∵DE、BF是高，
∴∠BED=∠DEC=∠BFC=90°，
∴∠EBH+∠C=90°，∠EDC+∠C=90°∠DBC+∠EDB=90°
∴∠EDC=∠EBH，
∵∠DBC=45°，
∴∠EDB=∠DBC=45°，
∴BE=DE，
在△BEH與△DEC中，

∠EBH=∠EDC BE=DE ∠BED=∠DEC

，
∴△BEH≌△DECASA），
∴BH=DC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，
∴BH=AB；                
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠ADB=∠DBC=45°，
∴AB∥DC，
∴∠ABH=∠BFC=90°，
∵AB=BH，
∴∠BHA=∠BAH=45°，
∵∠GDB+∠ADB=180°，∠GHA+∠AHB=180°
∴∠GHA=∠GDB，
又∵∠G=∠G，
∴△GHA∽△GDB，
∴

GA

GB

=

AH

BD

，
即AH•BG=AG•BD．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用是解此題的關鍵．