Question

在等腰三角形ABC中，AO⊥BC于點O，AB=AC=6，∠ABC=30°，以BC所在的直線為x軸，以AO所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，將與△ABC重合的△DEF（點D與點A、點E與點B、點F與點C分別重合）沿x軸向右平移，當點E與點O重合時，停止移動，然后將△DEF繞點O逆時針旋轉，當ED與y軸的正半軸重合時，停止轉動（如圖1）．

（1）F點的坐標為：（

 

，

 

）．
（2）將△DEF沿x軸向左平移，當點E與點B重合時，停止移動，在移動過程中，ED與AB相交于點H，EF與CA的延長線相交于點G（如圖2所示），設BE=m，以A、H、E、G為頂點的四邊形面積為S，求S與m之間的函數關系式；
（3）如圖3，△DEF的頂點E在△ABC的BC邊上移動，ED經過點A，過A、E、C三點作⊙O₁交EF于點M，連結CM．
①當⊙O₁與AB相切時，求⊙O₁的半徑．
②設點M的坐標為（x，y），請求出y與x之間的函數關系式．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據全等三角形的性質，可得對應角相等，對應邊相等，根據銳角三角函數中的正弦、余弦，可得答案；
（2）根據等腰三角形的三線合一，可得直角三角形，根據勾股定理，可得OA的長、BO的長，EH的長，根據兩銳角互余，可得三角形是直角三角形，根據銳角三角函數，可得CG的長，分類討論：當2

3

＜m＜3

3

時，根據面積的差，可得答案；當0＜m＜2

3

時，根據面積的和，可得答案；
（3）①根據垂徑定理，可得AR的長，根據切線的性質，可得∠BAO₁的度數，根據與弦函數，可得答案；②根據同弧所對的圓周角，可得∠AEM與∠MCA的關系，根據正切函數，可得答案．

解答：解：（1）作EG⊥BC與G點，如圖中的圖1：

在等腰三角形ABC中，AO⊥BC于點O，AB=AC=6，∠ABC=30°，
∴OA=3，OC=BO=3

3

，BC=6

3

，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠DOF=30°，EF=BG=6

3

，
∠EOG=60，
EG=EFcos∠FOG═6

3

×

1

2

=3

3

，
FG=EFsin∠FOG=6

3

×

3

2

=9，
∴F點的坐標為（3

3

，9），
故答案為：（3

3

，9）；
（2）在△ABC中，∵AB=AC=6，∠ABC=30°，
∴OA=3，OC=BO=3

3

，BC=6

3

，∠ACB=∠ABC=30°，∠BAC=120°．
∵HE⊥BC，∠ABC=30°，BE=m，∴EH=

3

3

m．
∵∠DEF=∠ACB=30°，
∴∠GEC=60°，∠C=30°，
∴∠EGC=90°．
∴在Rt△EGC中，
EC=6

3

-m，EG=

1

2

EC=

6 3 -m

2

，CG=ECcos30°=

3 (6 3 -m)

2

．
①當2

3

＜m＜3

3

時，S_{四邊形AHEG}=S_△ABC-S_△BEH-S_△EGC
=

1

2

BC•OA-

1

2

BE•EH-

1

2

EG•CG=

1

2

×6

3

×3-

1

2

m•

3

3

m-

1

2

•

6 3 -m

2

•

3( 6 3 -m)

2

即S_{四邊形AHEG}=-

7 3

24

m2+

9

2

m-

9 3

2

．②當0＜m＜2

3

時，
如圖中的圖1，過H點作HQ⊥GE，垂足為Q，

則  HQ=

1

2

EH=

3

6

m，
AG=CG-AC=

3 (6 3 -m)

2

-6．
S_{四邊形AGHE}=S_△HEG+S_△GEA
=

1

2

EG•HQ+

1

2

EG•AG
=

1

2

×

6 3 -m

2

×

3 m

6

+

1

2

×

6 3 -m

2

×[

3 (6 3 -m)

2

-6]
即S_{四邊形AGHE}=

3

12

m2-

9

4

m+

9 3

2

；
（3）①如圖中的圖3，連接O₁A和O₁C，過點O₁作O₁R⊥AC，垂足為R，

∴O1A=O1C，AR=

1

2

AC=

1

2

×6=3．
當AB與⊙O₁相切時，∠BAO₁=90°
∴∠O₁AC=120°-90°=30°．
∴cos∠O1AC=cos30°=

AR

O1A

=

3

O1A

∴O1A=2

3

，
即⊙O₁的半徑是2

3

；
②如圖，過點M作MH⊥BC于點H，
∴OH=x，MH=y．
∵

AM

=

AM

，
∴∠AEM=∠MCA=30°．
∵∠ACB=30°，
∴∠MCH=60°
∴tan∠MCH=tan60°=

MH

HC

=

y

OC-OH

3

=

y

3 3 -x

，
∴y=-

3

x+9．

點評：本題考查了圓的綜合題，利用了垂徑定理，切線的性質，同弧所對的圓周角相等，銳角三角函數，題目稍有難度．