Question

8．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC的中點，若E、F分別是AB、AC上的動點，點E從B向A運動，點F從A向C運動，運動的速度為每秒一個單位長度，點E和點F同時出發(fā)，運動時間為t秒．
（1）若AB=6，當t=1秒時，求△AEF的面積；
（2）當B、F在AB、AC上時，求證：△AEF是等腰直角三角形；
（3）在（2）的條件下．點F、E繼續(xù)沿著直線AB、AC運動，請問：（2）中結(jié)論還成立嗎？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得：BE=AF=1，Rt△AEF的面積=$\frac{1}{2}$AE•AF，即可得出結(jié)果；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，AD⊥BC，得出AD=BD=DC，由SAS證明△BDE≌△ADF，得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，再證∠EDF=90°，即可證出△DEF是等腰直角三角形；
（3）證出∠DAF=∠DBE=135°，同（1）由SAS證明△BDE≌△ADF，得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，再證出∠EDF=90°即可．

解答 （1）解：根據(jù)題意得：BE=AF=1，
∵∠BAC=90°，AB=AC=6，
∴AE=5，
∴△AEF的面積=$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$×5×1=$\frac{5}{2}$；
（2）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC=6，D為BC中點，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD=DC，
在△BDE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=AF}&{\;}\\{∠B=∠DAC}&{\;}\\{BD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（3）解：（2）中結(jié)論還成立‘理由如下：
由（2）得：AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°，
在△BDE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=AF}&{\;}\\{∠DBE=∠DAF}&{\;}\\{BD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠ADE-∠BDE=90°，
∴∠ADE-∠ADF=90°，
即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計算方法等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．