Question

12．如圖所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=10，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$圖象上，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3．
（1）求OB的長；
（2）求過點(diǎn)A的雙曲線的解析式．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，代入y=$\frac{12}{x}$得到點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，解直角三角形即可；
（2）要求函數(shù)的解析式只要求出點(diǎn)A的坐標(biāo)就可以，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，根據(jù)條件得到△ACO∽△ODB，得到$\frac{AC}{OD}=\frac{OC}{BD}=\frac{AO}{OB}=\frac{10}{5}$=2，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可．

解答 解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$圖象上，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，
∴y=4，
∴BD=4，OD=3，
∴OB=$\sqrt{{BD}^{2}+O{D}^{2}}$=5；

（2）過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠CAO=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
∴△ACO∽△ODB，
∴$\frac{AC}{OD}=\frac{OC}{BD}=\frac{AO}{OB}=\frac{10}{5}$=2，
∴AC=6，OC=8，
∴A（-6，8），
設(shè)過A 的反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-48，
∴過點(diǎn)A的雙曲線的解析式y(tǒng)=-$\frac{48}{x}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．