Question

如圖，已知菱形ABCD的對角線相交于點O，延長AB至點E，使BE=AB，連結(jié)CE．
（1）求證：BD=EC；
（2）若AC=2，sin∠E=

1

2

，求菱形ABCD的面積．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)菱形的對邊平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后證明得到BE=CD，BE∥CD，從而證明四邊形BECD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等即可得證；
（2）欲求菱形ABCD的面積，只需求得AC、BD的長度即可．利用平行四邊形BECD的性質(zhì)推知∠E=∠OBA，所以通過解直角△OBA和勾股定理易求OB的長度．則利用菱形ABCD的對角線互相平分易求BD的長度．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE∥CD，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∴BD=EC；

（2）解：∵四邊形BECD是平行四邊形，
∴DB∥CE，
∴∠E=∠OBA，
∴sin∠OBA=sin∠E=

1

2

．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，OA=

1

2

AC=1，
∴sin∠OBA=

OA

AB

=

1

AB

=

1

2

，
∴AB=2．
∴OB=

AB2-OA2

=

3

，
∴BD=2OB=2

3

，
∴S_菱形ABCD=

1

2

AC•BD=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

點評：本題綜合考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．解（2）題時，主要利用菱形的對角線互相垂直平分及勾股定理來解決．