Question

20．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，4），C（8，0），以O(shè)A、OC為鄰邊作矩形OABC，然后以AC為折痕折疊矩形，使B點(diǎn)落在第四象限的E處，AE交x軸于D點(diǎn)，連接CE并延長交y軸于F點(diǎn)．
（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求直線CE的解析式；
（3）判斷△ACF的形狀．

Answer 1

分析 （1）連接BE交AC于點(diǎn)G，則BE⊥AC，且G是BE的中點(diǎn)，首先求得AC的解析式和BE的解析式，則G的坐標(biāo)即可求得，然后根據(jù)G是BE的中點(diǎn)即可求得E的坐標(biāo)，然后求得直線AE的解析式，則D的坐標(biāo)即可求得；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得CE的解析式；
（3）首先求得F的坐標(biāo)，則△ACF的邊長即可求得，進(jìn)而判斷三角形的形狀．

解答 解：（1）連接BE交AC于點(diǎn)G，則BE⊥AC．
設(shè)AC的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
則直線AC的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+4，
設(shè)BE的解析式是y=2x+c，
∵C的坐標(biāo)是（8，4），
∴16+c=4，
解得：c=-12，則直線BE的解析式為y=2x-12．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-12}\\{y=-\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{32}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
則點(diǎn)G的坐標(biāo)是（$\frac{32}{5}$，$\frac{4}{5}$），
設(shè)E的坐標(biāo)是（m，n），則$\frac{m+8}{2}=\frac{32}{5}$，$\frac{n+4}{2}=\frac{4}{5}$，
解得：m=$\frac{24}{5}$，n=-$\frac{12}{5}$，
則E的坐標(biāo)是（$\frac{24}{5}$，-$\frac{12}{5}$）；
設(shè)AE的解析式是y=ax+d，則$\left\{\begin{array}{l}{d=4}\\{\frac{24}{5}a+d=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=4}\\{a=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
則直線AE的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+4．
令y=0，解得：x=3，則D的坐標(biāo)是（3，0）；
（2）設(shè)直線CE的解析式是y=ex+f，則$\left\{\begin{array}{l}{8e+f=0}\\{\frac{24}{5}e+f=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{3}{4}}\\{f=-6}\end{array}\right.$，
則直線CE的解析式是y=$\frac{3}{4}$x-6；
（3）解析式是y=$\frac{3}{4}$x-6中令x=0，解得y=-6，
則F的坐標(biāo)是（0，-6），
則AF=10，
在直角△OCF中，CF=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
則AF=CF，
∴△ACF是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查了圖形的折疊以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確求得E的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．