Question

11．如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N．
（1）求證：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出結論；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，AD=12，
∵F是AM的中點，
∴AF=$\frac{1}{2}$AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴$\frac{BM}{AF}=\frac{AM}{AE}$，
即$\frac{5}{6.5}=\frac{13}{AE}$，
∴AE=16.9，
∴DE=AE-AD=4.9．

點評 本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．