Question

2．如圖，在Rt△ABC中，/ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作DE⊥AB交AC邊于點(diǎn)D，將∠A沿直線DE翻折，點(diǎn)A落在線段AB上的F處，連接FC，當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為2或$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AB，設(shè)AE=x，則EF=x，BF=10-2x；分三種情況討論：
①當(dāng)BF=BC時(shí)，列出方程，解方程即可；
②當(dāng)BF=CF時(shí)，F(xiàn)在BC的垂直平分線上，得出AF=BF，列出方程，解方程即可；
③當(dāng)CF=BC時(shí)，作CG⊥AB于G，則BG=FG=$\frac{1}{2}$BF，由射影定理求出BG，再解方程即可．

解答 解：由翻折變換的性質(zhì)得：AE=EF，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
設(shè)AE=EF=x，則BF=10-2x；
分三種情況討論：
①當(dāng)BF=BC時(shí)，10-2x=6，
解得：x=2，
∴AE=2；
②當(dāng)BF=CF時(shí)，F(xiàn)在BC的垂直平分線上，
∴F為AB的中點(diǎn)，
∴AF=BF，
∴x+x=10-2x，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$；
③當(dāng)CF=BC時(shí)，作CG⊥AB于G，如圖所示：
則BG=FG=$\frac{1}{2}$BF，
根據(jù)射影定理得：BC²=BG•AB，
∴BG=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{{6}^{2}}{10}$=$\frac{18}{5}$，
即$\frac{1}{2}$（10-2x）=$\frac{18}{5}$，
解得：x=$\frac{7}{5}$，
∴AE=$\frac{7}{5}$；
綜上所述：當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為：2或$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{5}$；
故答案為：2或$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、射影定理、等腰三角形的性質(zhì)；本題有一定難度，需要進(jìn)行分類討論．