Question

17．直角坐標系中，四邊形ABCD的頂點坐標依次為A（-1，0），B（a，b），C（-1，5），D（c，d）
（1）當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，求a，b，c，d應(yīng)滿足的條件；
（2）四邊形ABCD是正方形時，求a，c的值；
（3）當(dāng)點D在y軸上，且四邊形ABCD是矩形時，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）由菱形的對角線互相垂直平分，容易得出結(jié)果；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出a、c的關(guān)系式，再由（1）的結(jié)果即可得出a、c的值；
（3）證明三角形相似得出比例式即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵A（-1，0），C（-1，5），
∴AC=5，OA=1，
∵四邊形ABCD是菱形
∴對角線AC、BD互相垂直平分，
∴b=d=$\frac{5}{2}$，a+c=-2；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC=BD，
∴c-a=5，
又∵a+c=-2，
∴c=$\frac{3}{2}$，a=-$\frac{7}{2}$；
（3）如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°
∵∠ECD+∠EDC=∠ADO+∠EDC=90°，
∴∠ECD=∠ADO，又∵∠CED=∠DOA 
∴△CED∽△DOA，
∴$\frac{CE}{OD}$=$\frac{DE}{AO}$，即$\frac{1}{OD}$=$\frac{5-OD}{1}$，
解得：OD=$\frac{{5±\sqrt{21}}}{2}$
即點D的坐標為（0，$\frac{{5+\sqrt{21}}}{2}$）或（0，$\frac{{5-\sqrt{21}}}{2}$）．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、矩形的性質(zhì)；熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；特別是（3）中，通過證明三角形相似得出比例式得出結(jié)果．