Question

如圖所示，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過O點作直線MN∥BC，MN分別交∠BCA的平分線于點E、∠BCA外角平分線于點F．

(1)求證：EO＝FO；

(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，并證明你的結(jié)論；

(3)若AC邊上存在點O，使四邊形AECF是正方形，且＝．求∠B．

Answer 1

答案：
解析：

證明：由(1)知OE＝OF，當OA＝OC時，AECF是平行四邊形，∵CE、CF分別平分∠ACB及其外角，∴∠ECF＝∠BCD＝，∴四邊形AECF是矩形． 　　(3)當AECF是正方形時，有AC⊥MN．又MN∥BC，∴AC⊥BC， 　　∴△ABC是Rt△則∠ACB＝． 　　由AECF是正方形得AE＝EC＝AC． 　　又∵＝，∴＝，∴∠B＝． 　　解析：(1)∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE．∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE．∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC．同理OF＝OC，∴EO＝FO． 　　(2)當O運動到AC的中點處時，AECF是矩形．

提示：

思維(1)由一對鄰補角的平分線和MN∥BC不難證明OE＝OC＝OF．(2)由CE⊥CF知∠ECF是，因此要使四邊形AECF是矩形．只要AECF是平行四邊形．即AO＝OC，由此不難發(fā)現(xiàn)O在AC中點．(3)當AECF是正方形時，則EF⊥AC，因此AC⊥BC，∴△ABC是Rt△，∴AE＝EC＝AC，又＝，∴＝，∴∠B＝．