Question

6．已知關(guān)于x的方程x²-（2m+1）x+4m-2=0．
①求證：無(wú)論m取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
②如果等腰△ABC的一邊a=4，另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式的符號(hào)進(jìn)行證明；
（2）注意：分b=c，b=a兩種情況做．

解答 （1）證明：△=（2m+1）²-4×1×（4m-2）=（2m-3）²，
∵無(wú)論k取何值，（2m-3）²≥0，即△≥0，
∴無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：①當(dāng)b=c時(shí)，則△=0，
即（2m-3）²=0，
∴m=$\frac{3}{2}$，
方程可化為x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∵2+2=4，
∴此三角形不存在；

②解：當(dāng)b=a=4時(shí)，
∵x²-（2m+1）x+4m-2=0．
∴16-4（2m+1）+4m-2=0，
∴4m=10，
∴x²-6x+8=0，
∴x₁=2，x₂=4，
∵另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，
∴c=2，
∴△ABC的周長(zhǎng)=a+b+c=4+4+2=8；
綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程總有實(shí)數(shù)根應(yīng)根據(jù)判別式來(lái)做，兩根互為相反數(shù)應(yīng)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系做，等腰三角形的周長(zhǎng)應(yīng)注意兩種情況，以及兩種情況的取舍．