Question

5．已知：拋物線y=ax²+bx-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（7，-3），與x軸正半軸交于點(diǎn)B（m，0）、C（6m、0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D．
（1）求m的值；
（2）求這條拋物線的表達(dá)式；
（3）點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)∠PQD=90°且PQ=2DQ時(shí)，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-m）（x-6m），把點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可求得m的值；
（2）由6am²=-3，m=1可求得a的值，然后代入拋物線的解析式即可；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，0）則OQ=-a，然后證明△ODQ∽△EQP，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得QE=6，PE=-2a．，則P的坐標(biāo)為（a+6，-2a），將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴D（0，-3）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-m）（x-6m）．
把點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：6am²=-3①，a（7-m）（7-6m）=-3②，
∴a（7-m）（7-6m）=6am²．
∵a≠0，
∴（7-m）（7-6m）=m²．
解得：m=1．

（2）∵6am²=-3，
∴a=-$\frac{3}{6{m}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
將a=-$\frac{1}{2}$，m=1代入得：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x-3．
∴拋物線的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x-3．

（3）如圖所示：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E．

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，0）則OQ=-a
-∵∠DQP=90°，
∴∠PQO+∠OQD=90°．
又∵∠ODQ+∠DQO=90°，
∴∠PQE=∠ODQ．
又∵∠PEQ=∠DOQ=90°，
∴△ODQ∽△EQP．
∴$\frac{QO}{PE}$=$\frac{OD}{QE}$=$\frac{QD}{QP}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{-a}{3}$=$\frac{PE}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴QE=6，PE=-2a．
∴P的坐標(biāo)為（a+6，-2a）
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：-$\frac{1}{2}$（a+6）²+$\frac{7}{2}$（a+6）-3=-2a，整理得：a²+a=0，
解得a=-1或a=0．
當(dāng)a=-1時(shí)，Q（-1，0），P（5，2）；當(dāng)a=0時(shí)，Q（0，0），P（6，0）．
綜上所述，Q（-1，0），P（5，2）或者Q（0，0），P（6，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定，用含a的式子表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．