Question

19．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2CD，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論①∠DCF=∠ECF；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S_△BEC＜2S_△CEF．中一定成立的是②③④．（請?zhí)钚蛱枺?

Answer 1

分析 如圖延長EF交CD的延長線于H．作EN∥BC交CD于N，F(xiàn)K∥AB交BC于K．利用平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可解決問題．

解答 解：如圖延長EF交CD的延長線于H．作EN∥BC交CD于N，F(xiàn)K∥AB交BC于K．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CH，
∴∠A=∠FDH，
在△AFE和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDH}\\{∠AFE=∠HFD}\\{AF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DFH，
∴EF=FH，
∵CE⊥AB，AB∥CH，
∴CE⊥CD，
∴∠ECH=90°，
∴CF=EF=FH，故②正確，
∵DF=CD=AF，
∴∠DFC=∠DCF=∠FCB，
∵∠FCB＞∠ECF，
∴∠DCF＞∠ECF，故①錯誤，
易證四邊形DFKC是菱形，
∴∠DFC=∠KFC，
∵AE∥EK，
∴∠AEF=∠EFK，
∵FE=FC，F(xiàn)K⊥EC，
∴∠EFK=∠KFC，
∴∠DFE=3∠AEF，故③正確，
∵四邊形EBCN是平行四邊形，
∴S_△BEC=S_△ENC，
∵S_△EHC=2S_△EFC，S_△EHC＞S_△ENC，
∴S_△BEC＜2S_△CEF，故④正確，
故正確的有②③④．
故答案為②③④．

點評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．