Question

9．已知，在四邊形ABCD中，∠ACB+∠ADB=180°，連接AB、CD．△ABC為等邊三角形．
（1）如圖1，求證：∠ADC=∠BDC；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H，延長(zhǎng)AH交BC于點(diǎn)E，連接BH并延長(zhǎng)交AC于F，若AF=CE，請(qǐng)你探究線段CD與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CN⊥DB于N，CM⊥AD于M，只要證明CN=CM，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，延長(zhǎng)HF到M，使得HA=HM，連接AM．由△ACE≌△BAF，推出∠AHF=60°，推出△AHM是等邊三角形，△HCM是Rt△，設(shè)DH=a，求出AD，CD即可解決問(wèn)題．

解答 證明：（1）如圖1中，作CN⊥DB于N，CM⊥AD于M，

∵△ABC是等邊三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ADB=120°，
∵∠N=∠CMD=90°，
∴∠MCN=∠ACB=60°，
∴∠BCN=∠ACM，
在△CNB和△CMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠N=∠AMC}\\{∠BCN=∠ACM}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△CNB≌△CMA，
∴CN=CM，∵CN⊥DB，CM⊥DA，
∴∠ADC=∠BDC

（2）結(jié)論：CD：AD=5：4
理由：如圖2中，延長(zhǎng)HF到M，使得HA=HM，連接AM．

在△ACE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACE=∠BAF}\\{CE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BAF，
∴∠EAC=∠ABF，
∴∠AHF=∠ABF+∠BAE=∠EAC+∠BAE=60°，
∴△AHM是等邊三角形，
易證△AHB≌△AMC，
∴∠ABH=∠ACM，∵∠AFB=∠MFC，
∴∠CMF=∠BAF=60°，
∵AH⊥CD，
∴∠AHD=∠AHC=90°，
∴∠CHM=30°，∠HCM=90°，
設(shè)DH=a，則AD=2a，AH=HM=$\sqrt{3}$a，CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CH=$\sqrt{3}$CM=$\frac{3}{2}$a，
∴CD=DH+HC=$\frac{5}{2}$a，
∴CD：AD=$\frac{5}{2}a：2a$=5：4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．直角三角形30度角性質(zhì)、勾股定理，角平分線判定定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．