Question

12．如圖，直線y=x-2與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點(diǎn)A（3，1）和點(diǎn)B．
（1）求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且以A，O，B，P為頂點(diǎn)構(gòu)成一個平行四邊形，請你直接寫出該平行四邊形對角線交點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A（3，1）代入y=$\frac{k}{x}$求出k的值，然后聯(lián)立雙曲線與直線解析式即可求出B的坐標(biāo)．
（2）過點(diǎn)△ABO的三個頂點(diǎn)作對邊的平行線，交于P₁、P₂、P₃，由平行四邊形的性質(zhì)可知，OA、OB、OC是A，O，B，P為頂點(diǎn)構(gòu)成一個平行四邊形的對角線，從而可知該平行四邊形對角線交點(diǎn)分別是OA、OB、AB的中點(diǎn)．

解答 解：（1）把A（3，1）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{x}}\\{y=x-2}\end{array}\right.$
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴B的坐標(biāo)為（-1，-3）
（2）過點(diǎn)△ABO的三個頂點(diǎn)作對邊的平行線，交于P₁、P₂、P₃，
∴OA、OB、OC是A，O，B，P為頂點(diǎn)構(gòu)成一個平行四邊形的對角線，
由平行四邊形的性質(zhì)可知：該平行四邊形對角線交點(diǎn)分別是OA、OB、AB的中點(diǎn)，
∵A（3，1），B（-1，-3），O（0，0）
∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：OA的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）
OB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）
∴該平行四邊形對角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）、（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），（1，-1）

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出B的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出中點(diǎn)坐標(biāo)，本題涉及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中等題型．