Question

20．如圖，已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（2，-$\sqrt{3}$）的拋物線y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式以及點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）如圖1，連接AD，在x軸上方作射線AE，使∠BAE=∠BAD，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交射線AE于點(diǎn)E；若動(dòng)點(diǎn)M、N分別在射線AB、AE上，求ME+MN的最小值；
（3）t是過(guò)點(diǎn)A平行于y軸的直線，P是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作t的垂線，垂足為點(diǎn)G，請(qǐng)你探究：是否存在點(diǎn)P，使以P、G、A為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，從而得出點(diǎn)A，B坐標(biāo)；
（2）先求出tan∠BAD=$\frac{DF}{AF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，從而得出∠BAD，即可得出∠DAE=60°，最后判斷出ME+MN的最小值是DN即可．
（3）先判斷出∠ADB=90°，再設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，表示出AG，PG，分兩種情況用比例式建立方程求解即可．

解答 解：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（2，-$\sqrt{3}$）的拋物線y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3），
∴-$\sqrt{3}$=$\frac{m}{3}$（2+1）（2-3），
∴m=$\sqrt{3}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），
∵拋物線與x軸相交于A，B，
∴0=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），
∴x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
（2）∵過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交射線AE于點(diǎn)E，D（2，-$\sqrt{3}$），E（2，$\sqrt{3}$），
∴DF=$\sqrt{3}$，AF=3，DE=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAD=$\frac{DF}{AF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAE=∠BAD=30°，
∴∠DAE=60°，
∴AD=AE，
∴△ADE是等邊三角形，
∴DN=AF=3
∴如圖2，

過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AE，交x軸于點(diǎn)M，
∵點(diǎn)D，E關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴DN就是MN+EM的最小值為3，
（3）如圖，連接BD，連接AP，

由（1）得，A（-1，0），B（3，0），D（2，-$\sqrt{3}$），
∴AD²=（2+1）²+（-$\sqrt{3}$）²=12，BD²=（3-2）²+（-$\sqrt{3}$）²=4，AB²=16，
∴AD²+BD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB=90°，
∵∠AGP=90°，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
∴設(shè)P（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-$\sqrt{3}$），
∴G（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-$\sqrt{3}$），
∴PG=|a+1|，PG=|$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-$\sqrt{3}$|，
∵以P、G、A為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，
∴①△PAG∽△ABD，
∴$\frac{PG}{AD}=\frac{AG}{BD}$，
∴$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}a-\sqrt{3}|}{2\sqrt{3}}$=$\frac{|a+1|}{2}$，
∴a=9或a=-1，或a=0或a=-2
∴P（9，20$\sqrt{3}$）或（-1，0）或（0，-$\sqrt{3}$）或（-2，$\sqrt{3}$）；
②△APG∽△ABD，
∴$\frac{PG}{BD}=\frac{AG}{AD}$，
∴$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}a-\sqrt{3}|}{2}=\frac{|a+1|}{2\sqrt{3}}$，
∴a=-1（舍）或a=4或a=2（舍），
∴P（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
即：滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P（9，20$\sqrt{3}$）或（-1，0）或（0，-$\sqrt{3}$）或（-2，$\sqrt{3}$）或（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等邊三角形的判定，平面坐標(biāo)系內(nèi)，兩點(diǎn)間的距離公式，相似三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷△ADE是等邊三角形，和分類(lèi)討論計(jì)算．