Question

如圖，在?ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分線BE、CF分別與AD相交于點(diǎn)E、F，BE與CF相交于點(diǎn)G．
（1）求證：BE⊥CF；
（2）若AB=3，BC=5，CF=2，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行可得∠ABC+∠BCD=180°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EBC+∠FCB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠DCB=90°，進(jìn)而可得BE⊥CF；
（2）過(guò)A作AM∥FC，首先證明△ABE是等腰三角形，進(jìn)而得到BO=EO，再利用勾股定理計(jì)算出EO的長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分線BE、CF分別與AD相交于點(diǎn)E、F，
∴∠EBC+∠FCB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠DCB=90°，
∴EB⊥FC；

（2）解：過(guò)A作AM∥FC，
∵AM∥FC，
∴∠AOB=∠FGB，
∵EB⊥FC，
∴∠FGB=90°，
∴∠AOB=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3，
∵AO⊥BE，
∴BO=EO，
在△AOE和△MOB中

∠AEO=∠MBO BO=EO ∠AOE=∠BOM

，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO=MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四邊形AMCF是平行四邊形，
∴AM=FC=2，
∴AO=1，
∴EO=

AE2-AO2

=2

2

，
∴BE=4

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證明出AO=MO，BO=EO．